Flera olika medborgarförslag har lämnats de senaste åren där man velat ge Fisktorgsbron mellan Fisktorget och Munksundsgatan ett nytt namn. Veteranbron var ett förslag, Munkbron ett annat.
Inget av förslagen godtogs eftersom det rådde oklarhet om vilka namn på broarna över Enköpingsån som var hävdvunna och därför inte borde ändras. En namngrupp fick i uppdrag att utreda hur det förhåller sig med namn och hävder, och föreslog sedan att ändra namnet på Fisktorgsbron till Klosterbron.
Nu har miljö- och byggnadsnämnden beslutat att Klosterbron ska den smala gång- och cykelbron heta. Bron byggdes 1894 av Enköpings mekaniska verkstad. I slutet av 2018 lyftes den bort för renovering, och kom åter på plats i januari 2019.